在高中数学的学习过程中，三角函数是一个重要的知识点，而导数作为微积分的基础概念之一，常与三角函数结合考察学生的综合能力。今天我们就来探讨一个典型的题目：函数y = tanx + cotx的导数问题。

一、明确已知条件和目标

已知函数为 \( y = \tan x + \cot x \)，我们需要求出它的导数 \( y' \)。这里涉及两个基本的三角函数：正切（tanx）和余切（cotx）。这两个函数的定义分别是：

- \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\)

- \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\)

它们的导数公式也是必须掌握的

- \((\tan x)' = \sec^2 x\)

- \((\cot x)' = -\csc^2 x\)

二、分步推导导数

根据导数的加法法则，函数 \( y = \tan x + \cot x \) 的导数可以表示为：

\[ y' = (\tan x)' + (\cot x)' \]

代入相应的导数公式：

\[ y' = \sec^2 x - \csc^2 x \]

三、进一步化简表达式

为了使结果更加简洁直观，我们可以利用三角恒等式进行化简。我们知道：

\[ \sec^2 x - \csc^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} \]

将上述两部分通分为一个分数形式：

\[ \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x} \]

利用三角恒等式 \(\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos(2x)\)，得到：

\[ y' = \frac{-\cos(2x)}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x} \]

最后一步是将分母写成统一的形式：

\[ y' = -\frac{\cos(2x)}{\left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)^2} = -\frac{4\cos(2x)}{\sin^2(2x)} \]

因此，最终的导数结果为：

\[ y' = -\frac{4\cos(2x)}{\sin^2(2x)} \]

四、总结与反思

通过以上推导过程，我们不仅掌握了函数 \( y = \tan x + \cot x \) 的导数计算方法，还复习了三角函数的基本性质及其导数公式。需要注意的是，在实际应用中，这类题目往往需要考生具备扎实的基础知识以及灵活运用公式的能力。

希望本文能帮助大家更好地理解和解决类似的数学问题！如果有任何疑问或需要进一步讨论的地方，请随时留言交流。