在数学中，三角函数是一个非常重要的知识点，而其中正切函数（tangent）是基础之一。今天我们就来探讨一个有趣的问题：tan15°等于多少？

首先，我们需要了解一些基本概念。正切函数的定义为对边与邻边的比值，即 tanθ = 对边 / 邻边。对于特殊角如 30°、45°、60° 等，我们可以通过几何图形或单位圆轻松得出其正切值。然而，对于非特殊角如 15°，就需要借助一些技巧来计算了。

方法一：利用角度差公式

我们知道，15° 可以表示为 45° - 30°。因此可以使用正切函数的角度差公式：

\[

\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B}

\]

将 A 设为 45°，B 设为 30°，则有：

\[

\tan 15° = \frac{\tan 45° - \tan 30°}{1 + \tan 45° \cdot \tan 30°}

\]

根据特殊角的正切值，tan 45° = 1，tan 30° = √3/3，代入后可得：

\[

\tan 15° = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}

\]

化简后得到：

\[

\tan 15° = 2 - \sqrt{3}

\]

方法二：利用半角公式

另一种方法是通过半角公式求解。由于 15° 是 30° 的一半，我们可以用正切函数的半角公式：

\[

\tan \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}

\]

令 θ = 30°，则有：

\[

\tan 15° = \frac{1 - \cos 30°}{\sin 30°}

\]

已知 cos 30° = √3/2，sin 30° = 1/2，代入后可得：

\[

\tan 15° = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 2 - \sqrt{3}

\]

结论

无论采用哪种方法，最终结果都是一致的。因此，我们可以得出结论：

\[

\tan 15° = 2 - \sqrt{3}

\]

这个结果虽然看似复杂，但通过合理的推导过程，我们可以清晰地理解其背后的逻辑。掌握这些方法不仅有助于解决类似问题，还能帮助我们更好地理解三角函数的本质。希望本文能对你有所帮助！