【顶点坐标的公式】在数学中，二次函数的图像是一条抛物线，而抛物线的“顶点”是其最高点或最低点，具有重要的几何和代数意义。了解顶点坐标的公式对于分析二次函数的性质、求极值以及解决实际问题都非常关键。
一、顶点坐标的定义
顶点坐标指的是抛物线的对称轴与抛物线的交点，它决定了抛物线的最高点（当开口向下时）或最低点（当开口向上时）。顶点坐标通常表示为 $(h, k)$，其中 $h$ 是横坐标，$k$ 是纵坐标。
二、顶点坐标的公式
1. 标准形式：
对于一般的二次函数表达式：
$$
y = ax^2 + bx + c
$$
其顶点的横坐标 $h$ 可以用以下公式计算：
$$
h = -\frac{b}{2a}
$$
然后将 $h$ 代入原式，求得纵坐标 $k$：
$$
k = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c
$$
也可以简化为：
$$
k = c - \frac{b^2}{4a}
$$
因此，顶点坐标为：
$$
(h, k) = \left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a} \right)
$$
2. 顶点形式：
如果二次函数写成顶点形式：
$$
y = a(x - h)^2 + k
$$
则顶点坐标直接为：
$$
(h, k)
$$
三、总结表格
| 公式类型 | 表达式 | 顶点坐标 |
| 一般形式 | $ y = ax^2 + bx + c $ | $\left(-\dfrac{b}{2a},\ c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$ |
| 顶点形式 | $ y = a(x - h)^2 + k $ | $(h, k)$ |
四、实际应用举例
例如，函数 $ y = 2x^2 - 4x + 1 $ 的顶点坐标可以通过公式计算：
- $ a = 2 $, $ b = -4 $, $ c = 1 $
- $ h = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 $
- $ k = 1 - \frac{(-4)^2}{4 \times 2} = 1 - \frac{16}{8} = 1 - 2 = -1 $
所以顶点坐标为 $(1, -1)$。
五、注意事项
- 当 $ a > 0 $ 时，抛物线开口向上，顶点为最低点；
- 当 $ a < 0 $ 时，抛物线开口向下，顶点为最高点；
- 若 $ a = 0 $，则不是二次函数，而是线性函数，不存在顶点。
通过掌握顶点坐标的公式，可以更方便地分析二次函数的变化趋势，为数学学习和实际问题提供有力支持。
