【标准正态分布】标准正态分布是统计学中最重要的一种概率分布，广泛应用于数据分析、假设检验、置信区间估计等领域。它是以均值为0、标准差为1的正态分布为基础，具有对称性、单峰性和概率密度函数的特性。
以下是对标准正态分布的总结
一、基本概念
| 概念 | 内容 |
| 定义 | 标准正态分布是一种均值为0、标准差为1的正态分布，记作 $ N(0, 1) $ |
| 概率密度函数 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} $ |
| 对称性 | 关于 y 轴对称，即 $ f(-x) = f(x) $ |
| 峰值 | 在 x=0 处达到最大值 |
| 总面积 | 面积为1，表示所有可能事件的概率之和为1 |
二、关键性质
| 特性 | 内容 |
| 均值 | 0 |
| 方差 | 1 |
| 标准差 | 1 |
| 分布形状 | 钟形曲线，对称 |
| 累积分布函数（CDF） | 表示随机变量小于等于某个值的概率，常用 Z 表查询 |
| 可转换性 | 任何正态分布都可以通过标准化转换为标准正态分布 |
三、应用领域
| 应用场景 | 描述 |
| 假设检验 | 用于计算 p 值和临界值 |
| 置信区间 | 构建均值或比例的置信区间 |
| 数据标准化 | 将数据转换为标准正态分布以便比较 |
| 风险评估 | 用于金融、保险等领域的风险模型 |
四、Z 分数与概率查询
在实际应用中，常使用 Z 分数（标准分数）来衡量一个值距离均值有多少个标准差。Z 分数公式为：
$$
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
$$
其中，$ X $ 是原始数据，$ \mu $ 是均值，$ \sigma $ 是标准差。
通过查标准正态分布表（Z 表），可以得到某一 Z 值对应的累积概率，从而判断该值在整体中的相对位置。
五、常见概率值
| Z 值 | 累积概率 P(Z ≤ z) |
| 0.0 | 0.5000 |
| 1.0 | 0.8413 |
| 1.96 | 0.9750 |
| 2.0 | 0.9772 |
| 3.0 | 0.9987 |
六、总结
标准正态分布是统计分析的基础工具之一，其简单而强大的特性使其成为许多统计方法的核心。理解其性质、掌握 Z 分数的应用，并熟练使用 Z 表，是进行数据分析和推断的重要基础。在实际工作中，合理利用标准正态分布能够帮助我们更准确地解读数据和做出科学决策。
